Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Les matrices

1. Définitions

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, délimités par des crochets ou des parenthèses.

L'ensemble des éléments situés sur une même horizontale s'appelle une ligne, celui des éléments sur une même verticale s'appelle une colonne.

L'élément a_ij est situé à l'intersection de la i ième ligne et la j ième colonne.

Une matrice esr dite réelle si tous ses éléments sont des nombres réels. Elle est dite nulle ou matrice zéro si tous ses éléments sont nuls et est notée 0.

Le nombre m de lignes et le nombre n de colonnes d'une matrice déterminent l' ordre de la matrice:

A_{m x n} = [a_ij]_{m x n} est une matrice d'ordre m par n. C'est à dire une matrice à m lignes et à n colonnes.

La matrice 1 x n est dite matrice ligne, et la matrice m x 1 est dite matrice colonne.

Si n = m, la matrice est dite matrice carrée d'ordre n.

La diagonale principale d'une matrice carrée A d'ordre n est l'ensemble des éléments a_ij, avec i = j , allant de 1 à n .

{a_ii} = {a₁₁ , a₂₂ , a₃₃ , ..., a_nn}

On appelle trace d'une matrice carrée, la somme de tous les éléments de sa diagonale principale. On la note Tr(A).

Tr(A) = Σ_{i = 1,n} a_ii = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + ... + a_nn

2. Différentes types de matrices

• La comatrice cof(A) d'une matrice carrée A est une matrice dont les élements sont les cofacteurs de A.

• Le cofacteur d'un élément a_ij de la matrice A est le nombre A_ij défini par:

A_ij = (- 1)^i+j M_ij

où M_ij est le mineur de l'élement a_ij.

• Le mineur M_ij d'un élément a_ij de la matrice A est le determinant de sa sous-matrice carrée ne contenant pas les éléments de la ligne i et la colonne j.

• La matrice transposée d'une matrice A est la matrice tra(A), notée aussi A^t, obtenue en inversant lignes et colonnes de la matrice A. C'est à dire que les lignes de tra(A) sont les colonnes de A et les colonnes de tra(A) sont les lignes de A.

Propriétés des matrices transposées:

Tra(A x B) = Tran(B) x Tran(A)
Tra(A + B) = Tran(B) + Tran(A)
Tra(k x A) = k x Tran(A)
Tra(Tra(A)) = A

• La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire com(A) de A.

com(A) = tra(cof(A))

• Si la matrice carrée A est inversible, la matrice inverse de A, de même ordre que A, notée A^-1 est le rapport de la complémentaire de A par le déterminant de A:

A^-1 = com(A)/det(A)

La matrice B inverse de A vérifie:

A x B = B x A = 1

• La matrice conjuguée d'une matrice A est la matrice conj (A) formée des éléments conjugués de A. La matrice conjuguée d'une matrice réelle est égale à elle même.

• La matrice adjointe ou transconjuguée adj(A) d'une matrice A est la matrice transposée de la matrice conjuguée de com (A).

Dans le cas particulier où A est à coefficients réels, sa matrice adjointe est donc simplement sa matrice complémentaire.

A^-1 = conj(com(A))/det(A) = conj(tra(cof(A)))/det(A) = adj(A)/det(A)

A^-1 = adj(A)/det(A)

• Une matrice stochastique est une matrice carrée de réels > 0 dont la somme des éléments sur chaque ligne est égale à 1.

• Une matrice carrée est dite normale si elle commute avec sa transposée. C'est à dire:
A tra(A) = tra(A) A.

• Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients qui ne sont pas ceux de la diagonale principale sont nuls.
Les coefficients de cette diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.

• Une matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que PAP^-1 est une matrice diagonale: D = PAP^-1
Toutes les matrices normales sont diagonalisables.

• Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux principaux sont égaux.

Une matrice scalaire est proportionnelle à une la matrice identité: S = k I_n , où k est un scalaire et I_n la matrice identité d'ordre n.

• Une matrice identité est une matrice diagonale dont les coefficients de la diaginale principale sont tous égaux à 1.
Pour tout i et tout j : a_ij = 1 si i = j et a_ij = 0 si i≠ j.

• Une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée. C'est à dire A = tra(A).
Pour tout i et tout j : a_ij = a_ji

A x Tra(A) est une matrice symétrique.

• Une matrice est ansymétrique si elle est égale à l'opposé de sa transposée. C'est à dire tra(A) = - A . Tous les élements de la diagonale principale sont nuls: a_ii = 0 .

Lorsque A est une matrice carrée:
A + Tra(A) est une matrice symétrique,
A - Tra(A) est une matrice antisymétrique

Toute matrice carrée A peut s'ecrire sous forme d'une somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique:

A = (1/2)(A + Tra(A)) + (1/2)(A - Tra(A))

• Une matrice est orthonormale si l'ensemble de tous ces vecteurs (colonnes) sont orthonormaux.

Une matrice orthonormale A satisfait A tra(A) = I, c'est-à-dire que sa transposée est son inverse par la droite.
Une matrice orthonormale n’est pas nécessairement carrée.

• Une matrice est dite régulière si son déterminant est différent de zéro .

• Une matrice carrée est dite singulière si son déterminant est égal à zéro.

• Une matrice carrée est dite triangulaire si tous les élements, soit au dessus, soit au dessous, de la diagonale principale sont égaux à zéro.

• Une matrice d'ordre m x n est appelée matrice escalier si :

• 1. Chacune des k premières lignes comporte des élements non nuls, alors que les élements des m - k lignes restantes sont tous nuls (1 ≤ k ≤ m).

• 2. Le pivot de chacune des k premières lignes est égal à 1.

• 3. Pour chacune des k premières lignes, le nombre de zéros précédant le pivot est inféreur à celui de la ligne qui suit.

Dans une matrice réelle, Le pivot d'une ligne est le premier élement non nul de cette ligne.