Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Les matrices
Matrice inverse
Matrice inverse par les transformations
élémentaires sur les lignes

Matrice inverse par les transformations
élémentaires sur les lignes

1. La technique :

Voici une autre méthode qu'on utlise pour trouver la matrice inverse d'une matrice régulière, en employant uniquement des transformations élémentaires sur les lignes:

Voici la technique :

À partir de la matrice augmentée [A|I], on fait des transformations élémentaires sur les lignes pour aboutir à une nouvelle matrice augmentée [I|B]. La matrice B est alors la matrice inverse cherchée A^-1.

[A|I] [I|A^-1]

2. Exemple:

A =	1 0 - 1 2 -1 1 0 -2 1

La matrice inverse a la forme suivante:

A-1 =

x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33

En effectuant le produit: A A^-1 = I , on aboutit à 3 systèmes d'équations linéaires. Systèmes consistants de trois équations à trois inconnues.

On peut donc résoudre ces trois systèmes. Plus rapidement, on procède de la façon suivante:

On construit une matrice augmentée [A|I3] d'ordre 3 x 6 suivante :

	1	0	- 1	1	0	0
	2	-1	1	0	1	0
	0	-2	1	0	0	1

En effectuant les transformations élémentaires suivantes sur les lignes: L2 - 2L1, - L2, L3 + 2L2, (-1/5)L3, L1 + L3, et L2 + 3L3, on obtient:

	1	0	0	1/5	2/5	- 1/5
	0	1	0	- 2/5	1/5	- 3/5
	0	0	1	-4/5	2/5	-1/5

On a donc :

A-1 =

1/5 2/5 - 1/5 - 2/5 1/5 - 3/5 -4/5 2/5 -1/5