Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Propriétés des déterminants

Propriétés des déterminants

1. Propriétés

rangée = ligne ou colonne


• 1. det (tra(A)) = det (A)

• 2. Si tous les éléments d'une rangée sont nuls, alors le déterminant est nul.

• 3. Si on permute deux rangées, alors on obtient l'opposé du déterminant.

• 4. Si deux rangées sont identiques dans un déterminant, alors ce déterminant est nul.

• 5. Si on multiplie une rangée par un réel k, alors le déterminant est multiplié par k.

• 6. Si on multiplie les éléments de toutes les rangées par un réel k, alors le déterminant est multiplié par kⁿ.

• 7. det (A x B ) = det (A) x det (B)

• 8. Un déterminant ne change pas si on ajoute à une rangée, une combinaison linéaire des autres.

• 9. Un déterminant triangulaire est égal au produit de ces éléments diagonaux principaux.

2. Exemple

On veut calculer le déteminant 4 x 4 suivant:

	2	1	-1	0
	3	-2	4	1
	-1	4	3	5
	2	2	3	1

On remplace la colonne C1 par C1 + 2C3 :

	0	1	-1	0
	11	-2	4	1
	5	4	3	5
	8	2	3	1

On remplace C2 par C2 + C3 =

	0	0	-1	0
	11	2	4	1
	5	7	3	5
	8	5	3	1

	0	0	-1	0
	11	2	4	1
	5	7	3	5
	8	5	3	1

On décompose selon les cofacteurs de la première ligne:

= (- 1) x (- 1)1+3 x

11 2 1 5 7 5 8 5 1

On remplace la ligne L1 par L1 - L3

=    -

3 - 3 0 5 7 5 8 5 1

On remplace C2 par C2 + C1

=    -

3 0 0 5 12 5 8 13 1

= - 3 ( - 1)¹⁺¹ (12 x 1 - (13) x 5) = 3 x 53 = 159

det = 159