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Mathématiques: Trigonométrie
Loi des sinus
Théorème d'Al-Kachi
Angles formés par les hauteurs d'un triangle
ABC est un triangle.
AD est la hauteur issue du point A au côté opposé BC,
BE est la hauteur issue du point B au côté opposé AC, et
CF est la hauteur issue du point C au côté opposé AB.
Ainsi les angles D, E, et F sont droits.
On note le complémentaire d'un angle X,
c'est à dire = 90o - X.
• Dans le triangle ABC, la loi des cosinus s'ecrit:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2 ab cos C
D'où:
cos A = (b2 + c2 - a2)/2bc
cos B = (a2 + c2 - b2)/2ac
cos C = (a2 + b2 - c2)/2ab
• Dans le triangle ABC, la loi des sinus s'ecrit:
a/sin = b/ sin =
c/sin
1. Angles relatifs à la hauteur AD
• Dans le triangle rectangle BFC :
BF/BC = cos
BF = a cos
• Dans le triangle rectangle BDA :
BD/AB = cos
BD = c cos
• Dans le triangle rectangle ADC:
DC/AC = cos
DC = b cos
• Dans le triangle rectangle BEC:
CE/BC = cos
CE = a cos
• Dans le triangle BDF, la loi des cosinus s'ecrit:
FD2 = BF2 + BD2 - 2 . BF . BD cos
• Dans le triangle DEC, la loi des cosinus s'ecrit:
DE2 = DC2 + EC2 - 2 . DC . EC cos
• Dans le triangle BFD, la loi des sinus s'ecrit:
BF/sin = FD/sin
sin =
BF sin / FD
• Dans le triangle EDC, la loi des sinus s'ecrit:
EC/sin = ED/sin
sin = EC sin /ED
2. Expression des sinus des angles
, et
• Nous avons:
sin =
BF sin / FD
BF = a cos
FD2 = BF2 + BD2 - 2 . BF . BD cos
BD = c cos
Donc
sin =
a cos x sin /
√(a2 cos2 +
c2 cos2
- 2 . a . c cos3 ) =
a sin /
√(a2 +
c2
- 2 . a . c cos ) =
a sin / b
sin =
a sin / b
• Nous avons:
sin = EC sin / ED
CE = a cos
DE2 = DC2 + EC2 - 2 . DC . EC cos
DC = b cos
Donc
sin =
a cos x sin /
√(b2 cos2 +
a2 cos2 -
2 . a . b cos3 ) =
a sin /
√(b2 +
a2 -
2 . a . b cos ) =
a sin /c
sin =
a sin /c
• D'après la loi des sinus dans le triangle ABC:
sin = a sin/ b =
asin /c
On trouve:
sin = sin =
sin
• Aux pieds des hauteurs D, E et F respectivement, on a :
mes < 90o,
mes < 90o, et
mes < 90o.
Ces trois angles sont donc aigus.
La fonction sinus étant croissante dans [0, π/2], ainsi l'égalité des
sinus implique celle des angles. Nous avons alors:
mes = mes =
mes
3. Angles relatifs aux hauteurs BE et CF
Un même raisonnement qu'en 1. conduit à :
mes = mes =
mes
et à:
mes = mes =
mes
On complète le triangle:
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