Mathématiques: Trigonométrie
Loi des sinus
Théorème d'Al-Kachi
Position d'un satellite
On se propose de calculer L'altitude d'un satellite
artificiel vue par deux observateurs se trouvant à deux
ebdroits différents.
1. Première expérience
Les deux observateurs se trouvent aux points A et B.
tan α = AB/BL. D'où:
BL = AB/tan α = 200 km /tan 10 = 1134 km.
BL = 1134 km.
Le satellite est à 1134 km d'altitude.
2. Deuxième expérience
Les deux observateurs se trouvent aux points A et B.
2 π R correspond à 360 o. Donc
l'arc AB correspond à = 600 km correspond à β =
(600 km / 2 π 6370 km ) x 360o = 5.4o
β = 5.4 o
mes = 180 - 20 = 160o
mes = 160o
D'où
mes = 180 - 160 - 5.4 = 14.6o
mes = 14.6o
• Dans le triangle CBL, la loi des sinus s'ecrit:
CL/sin B = CB/sin L
CB = R = 6370 km
CL = sin B x CB/sin L = sin 160 x 6370/sin 14.6 =
8643.13 km
AL = CL - R = 8643.13 - 6370 = 2273.13
Al = 2273 km
Le satellite est à 2273 km d'altitude.
3. Troisième expérience
Les deux observateurs se trouvent aux points B et C.
mes = 180 - α2 = 180 - 60 - 120o
La circonférence 2πR correspond à 360o
L'angle β intercepte l'arc BC = 700 km. Donc
β = l'arc BC/2πR = (700 km/2π x 6370km ) x 360o = 6.30o
β = 6.30o
D'où:
mes = 180 - 120 - 6.30 = 53.70o
mes = 53.70o
mes = 180 - 53.70 = 126.30o
mes = 126.30o
mes = 180 - 126.30 - α1 = 180 - 126.30 - 30 =
23.70o
mes = 23.70o
• Dans le triangle ORC, la loi des sinus s'ecrit:
OR/sin(180- α2) = OC/sin. Soit
OR/sin 120 = 6370/sin 53.70
OR = 6370 x sin 120/sin 53.70 = 6845.00 km
OR = 6845.00 km
D'où: BR = OR - OB = 6845.00 - 6370 = 475 km
BR = 475 km
• Dans le triangle BRL, la loi des sinus s'ecrit:
BL/sin = BR/sin. Soit
BL/sin 126.30 = 475 /sin 23.70
BL = 475 x sin 126.30/sin 23.70 = 952.40 km
BL = 952.40 km
• Dans le triangle OBL, le théorème d'Al-Kachi s'ecrit:
OL2 = OB2 + BL2 -
2 OB . BL . cos . Soit
OL2 = 63702 + (952.40)2 -
2 . 6370 . 952.40 . cos (180 - 30) = 51 991 950.81
OL = 7210.54 km
OL = 7210.54 km
D'où:
AL = OL - OA = 7210.54 - 6370 = 840.54 km.
AL = 840.54 km.
Le satellite se trouve à 840 km au nord.
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