Mathématiques 45: Géométrie:
Les coniques
Exercice 1
Compléter
Le cercle est le lieu d’un point situé à une même .....(r) d’un autre point fixe (O), appelé ....... du cercle .
L'ellipse est le lieu d’un point dont la somme des ........ à deux points fixes appelés ...... est constante.
L'....... est le lieu d’un point dont la valeur absolue de la ........ des distances à deux points fixes appelés
foyers est constante.
La parabole est le lieu d’un point situé à une même distance d’un point fixe appelé foyer et d’une droite fixe, appelée ......... .
Dans une ellipse:
a : distance entre le centre et un sommet horizontal.
b : distance entre le centre et un sommet vertical.
c : distance entre le centre et un foyer.
Si l'axe focal est horizontal, on a:
a2 = ....... + c2
Si l'axe focal est vertical, on :
........ = a2 + c2
Exercice 2
Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point P(+ 3, - 4) appartient au cercle.
Exercice 3
a) Ecrire l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le diamètre est de 10 unités ?
b) Quelle est l'abscisse d'un point d'ordonnée
égale - 3 ?
c) Montrer que le point I(- 4, + 2)
se trouve à l'intérieur du cercle.
d) Montrer que le point E(+ 6, 0)
se trouve à l'exterieur du cercle.
e) Généraliser à partir des résultats trouvés
en c) et d), en plaçant les signes >, =, ou
< dans les propositions suivantes:
Soit un cercle de rayon R. Un pont P(x, y) est:
• Sur le cercle si:
x2 + y2 ..... R2
• À l'extérieur du cercle si:
x2 + y2 ..... R2
• À l'intérieur du cercle si:
x2 + y2 ..... R2
Exercice 4
Trouver l'équation de la tangente à un cercle d'équation x2 + y2 = 25, au point P(+ 3, + 4).
Antisèche:
Pente de la droite (OP) = 4/3
Deux droites sont perpendiculaires si
le produit de leurs pentes respectives
est égal à -1.
Donc la pente de la tangente
est égale à - 3/4.
Cette tangente passe par le point P, donc
4 = - (3/4)(3) + b
b = ...... .
L'équation de la tangente est:
y = .... x + .... .
Exercice 5
Le grand axe d’une ellipse mesure 15 unités et le petit axe 11 unités. Quelle est la distance focale ?
Antisèche:
(distance focale)2 = (grand axe)2 - (petit axe)2
Exercice 6 résolu
Questions:
La distance entre deux sommets d’une hyperbole est de 16 unités.
L'un de ses foyers a pour coordonnées (0, 10).
a) Quelle est l'équation de cette conique?
b) Montrer que le point (0, 10) est à l'extérieur de cette hyperbole.
Réponses:
a)
Un foyer a pour coordonnées (0, 10), celà
implique que l'axe est vertical.
c = 10 unités.
b = 16/2 = 8 unités.
Il reste à calculer le paramètre a:
Nous avons toujours pour une hyperbole:
c2 = a2 + b2
Donc
a2 = c2 - b2 =
102 - 82 = 36
d'où :
a = ± 6 unités.
L'équation de l'hyperbole est
donc:
y2 /b2 - x2 /a2 = 1
y2 /64 - x2/36 = 1
b)
La région intérieure d'une hyperbole est la région où se trouvent ses foyers.
Lorsque l'axe de l'hyperbole est horizontal,
les points intérieurs satisfont l'inéquation:
x2/a2 - y2/b2 > 1
Lorsque l'axe de l'hyperbole est vertical,
les points intérieurs satisfont l'inéquation:
y2/b2 - x2/a2 < 1
Nous avons ici un axe vertical. On doit donc
tester l'inéquation:
y2/b2 - x2/a2 < 1
Le point (0, 10) donne :
y2/b2 - x2/a2 =
02 /64 - 102/36 = - 100/36.
- 100/36 <1: oui.
Ainsi le point (0, 10) est à
l'intérieur de l'hyperbole.
Exercice 7
Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point F(0, - 5).
a) Quelle est l'équation de cette conique?
b) Le point P(- 5, + 2) est-t-il sur le lieu
géométrique de la parabole?
Antisèche:
x2 = 4cy = - 20 y
(- 5)2 = - 20 (2) = - 40
........
Exercice 8
a) Résoudre le système d’équations suivant :
x - y + 3 = 0
x2/16 + y2/49 = 1
b) Trouver l'équation d'une droite qui n'a
aucun point d'intersection avec l'ellipse.
Exercice 9
Résoudre graphiquement le système d’équations suivant :
x2 + y2 = 36
y2 = 24 x
Exercice 10
Résoudre graphiquement le système d’équations suivant :
x2 + y2 = 36
x2 = 8 (x + 1)
Exercice 11
Quelle est l’équation de la parabole ayant pour sommet (2, 3) et une directrice x = 8?
Exercice 12
Quelle est l’équation de la parabole ayant pour sommet (3, - 10) et pour foyer (5, - 15)?
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