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Mathématiques: Algèbre
Fonction quadratique
Forme générale et forme canonique
1. Les trois formes d'une fonction quadratique
Une fonction quadratique f de la variable x
peut s'ecrire sous les trois formes suivantes:
• Forme développée (ou forme générale) : f(x) = ax2 + bx + c.
Les coefficients a, b, et c sont des réels, avec a ≠ 0).
• Forme canonique : f(x) = a (x - h)2 + k. La variable x ne figure
qu'une seule fois dans cette expression. Les coefficients h et k sont
les coordonnées de l'extremum de la fonction f.
• Forme factorisée : f(x) = a (x - x1)(x - x2). C'est un produit de facteurs
du premier degré. x1 et x2 sont les zéros de la fonction f.
Pour toute fonction quadratique f(x) est associé un trinôme
T(x) = ax2 + bx + c et une équation du second degré
à une inconnue ax2 + bx + c = 0.
Les zéros de la fonction f sont ses abscisses à
l'origine, ce sont les racines du trinôme T(x).
Que ce soit sous forme générale, canonique, ou factorisée,
la fonction quadratique f(x) dépends toujours de trois
coefficients:
a, b, et c pour la forme générale,
a, h, et k pour la forme canonique, ou
a, x1 et x2 pour la forme factorisée.
Pour la forme canonique, si on connait les coordonnées du sommet h
et k, il restera à déterminer le coefficient a.
Pour la forme factorisée, si on connait les zéros x1 et x2
de la fontion f, il restera à déterminer le coefficient a.
2. Somme et produit des racines d'un trinôme
Les racines d'un trinôme T(x) = ax2 + bx + c sont les
solutions de l'équation, du second degré, associée:
ax2 + bx + c = 0
Le discriminant de cette équation est égal à Δ = b2 - 4ac.
- Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions distinctes:
x1 = (- b + √Δ)/2a et x2 = (- b - √Δ)/2a
- Si Δ = 0, l'équation admet une solution double :
x1 = x2 = - b/2a
- Si Δ < 0, l'équation n'admet aucune solution.
On se place dans le cas où l'équation admet deux solutions.
Si l'équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions, alors
ses racines s'ecrivent:
x1 = (- b + √Δ)/2a et
x2 = (- b - √Δ)/2a
Leur somme donne:
S = x1 + x2 = (- b + √Δ)/2a + (- b + √Δ)/2a =
(- b + √Δ - b + √Δ)/2a = (- b - b )/2a =
- 2 b/2a = - b/a
S = - b/a
Leur produit donne:
P = x1 . x2 = (- b + √Δ)/2a x (- b - √Δ)/2a =
[(- b)2 + b √Δ - b √Δ - Δ ]/ (2a x 2a) =
[(- b)2 - Δ ]/ (2a x 2a) =
[(- b)2 - (b2- 4ac) ]/ (2a x 2a) =
[(- b)2 - b2 + 4ac ]/ (2a x 2a) =
[ 4ac) ]/ (2a x 2a) = c/a
P = c/a
On retient:
Si x1 et x2 sont les solutions de l'équation
ax2 + bx + c = 0, alors
La somme des racines est S = x1 + x2 = - b/a
Le produit des racines est P = x1 . x2 = c/a
Remplaçons b = - a S et c = a P dans l'équation ax2 + bx + c = 0,
on obtient:
ax2 + (- a S) x + a P = 0
a(x2 - S x + P) = 0
x2 - S x + P = 0
On retient:
Si l'équation ax2 + bx + c = 0 admet deux
solutons x1 et x2, alors elle peut s'ecrire sous la forme:
x2 - Sx + P = 0
où S = x1 + x2 = - b/a , et
P = x1 . x2 = c/a
ax2 + bx + c = a(x2 + (b/a)x + c/a) =
a(x2 - (- b/a)x + c/a) = a(x2 - S x + P)
3. Applications
3.1. On connait les deux solutions x1 et x2 de l'équation
du second degré, et on veut ecrire la fonction associée
sous forme générale:
• Soit on utilise la forme factorisée a(x - x1)(x - x2), et ensuite
on développe,
• Soit on utilise directement la méthode de la somme et de la différence:
a (x2 - S x + P).
Exemple:
On connait les deux racines de l'équation:
x = - 1 et x = 3 . Donc
S = - 1 + 3 = 2
P = (- 1) x (3) = - 3
Ainsi la fonction quadratique associée s'ecrit:
f(x) = a(x2 - S x + P) = a(x2 - 2 x - 3)
Il restera le coefficient a à déterminer selon les
données du prblème.
3.2. Vérifier que ax2 + bx + c
se ramène à a(x2 - S x + P)
Soit l'équation suivante associée à la fonction quadratique
f(x) = 5 x2 + 14 x + 2 :
5 x2 + 14 x + 2 = 0
Δ = (14)2 - 4(5)(2) = 196 - 40 = 156
≥ 0
L'équation admet donc deux racines x1 et x2. On a donc
x1 + x2 = - b/a = - 14/5 et
x1 . x2 = c/a = 2/5
La forme générale de la fonction quadratique
peut donc s'ecrire:
f(x) = a(x2 - S x + P) = 5(x2 - (-14/5) x + (2/5)) =
5x2 + 14 x + 2
On retrouve bienl'équation de départ.
3.3. Trouver deux nombres connaissant leur somme
et leur produit
C'est ici que la méthode somme-produit s'avère utile.
Si on connait la somme S et le produit P de deux nombres x1 et x2,
alors pour connaitre ses nombres, il faut passer par l'équation
du second degré x2 - Sx + P = 0.
Exemples:
Exemple 1:
x1 + x2 = 22
x1 . x2 = 120
Ici c'est facile à deviner x1 = 12 et x2 = 10.
Exemple 2:
x1 + x2 = 2
x1 . x2 = 1/4
Ici ce n'est facile à deviner. Il faut passer par l'équation
x2 - 2x + 1/4 = 0.
Δ = (- 2)2 - 4 (1)(1/4) = 4 - 1 = 3
Les solutions sont donc:
x1 = (2 + √3)/2 et x2 = (2 - √3)/2
Exemple 3:
Résoudre le système
x + y = 49
x2 + y2 = 1225
On trouve x = 21 et y = 28 ou x = 28 et y = 21.
4. Autres applications : connaissant une racine,
comment détermine-t-on la deuxième ?
On considère la forme générale d'une
foncion quadratique:
y = a x2 + b x + c
qui possède deux zéros r1 et r2, et
dont on connait l'un d'entre-eux, soit r1.
On veut déterminer alors le second zéro r2.
On sait que:
r2 + r1 = - b/a
r1 r2 = c/a
r1 est connu. L'une des deux relations donne r2. Avec
la deuxième, qui est la plus simple, on a :
r2 = c/ar1
Exemple:
y = 3 x2 - 7 x + 2
On donne le premier zéro: r1 = 2.
a = 3 et c = 2. donc c/a = 2/3
D'où r2 = 2/3x2 = 1/3
Le deuxième zéro est donc r2 = 1/3
5. Retrouver les deux formules de la somme et
du produit des racines en utilisant les polynômes
On considère la forme générale d'une
foncion quadratique:
y = a x2 + b x + c
On ecrit cette fonction sous sa forme factorisée:
y = a(x - r1)(x - r2). Puis,
on développe:
y = a (x2 - r2 x - r1 x + r1 r2) =
a (x2 - (r2 + r1) x + r1 r2) =
a x2 - a (r2 + r1) x + a r1 r2
On trouve donc:
y = a x2 - a (r2 + r1) x + a r1 r2
(2)
Maintenant on égalise les deux formes ( 1) et (2). Il
vient:
a x2 +
b x +
c =
a x2
- a (r2 + r1) x +
a r1 r2
On applique la règle suivante :
Deux polynômes réduits sont égaux si et seulement si les termes
de même degré ont des coefficients égaux.
Donc:
a = a
b = - a (r2 + r1)
c = a r1 r2
ou
r2 + r1 = - b/a
r1 r2 = c/a
On retrouve donc les formules simples
de la somme et du produit des
zéros d'une fonction quadratique.
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