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Mathématiques 45: Algèbre
Fonction quadratique
Beth construit des pages web et demande des prix variés selon
la qualité de la page.
Pour une semaine, le nombre moyen de clients intéressés est modélisé
à l'aide de la fonction
d(x) = 32 – 0.2x ,
où x est le prix (en $) d’une page web, et
d(x), le nombre moyen hebdomadaire de clients intéressés d'avoir une page web
avec le prix x.
Si d(x) est le nombre hebdomadaire moyen de clients qui payeront chacun x ($),
alors au total, Beth gagnera, en moyenne r(x) = x d(x) dollars par
semaine. D'où:
r(x) = x d(x) = x(32 - 0.2 x) = 32 x - 0.2 x2
r(x) = - 0.2 x2 + 32 x
1. Étude de la fonction d(x)
La fonction affine d(x) = – 0.2x + 32 est décroissante
puisque son taux de variation, qui vaut - 0.2, est négatif.
Son ordonnée à l'origine est 32.
Son abscisse à l'origine se trouve par d(x) = 0;
C'est à dire - 0.2 x + 32 = 0. d'où x = 160.
Le domaine de cette fonction est [0,160]. Son image est [0,32].
2. Étude de la fonction r(x)
r(x) = - 0.2 x2 + 32x
Cette fonction quadratique ecrite sous sa forme
générale (avec c = 0) se ramène à sa sorme
canonique par la méthode de complétion de carré.
r(x) = - 0.2 x2 + 32x
r(x) = - 0.2[x2 – 160x]
r(x) = - 0.2[x2 – 2 (80) x]
r(x) = - 0.2[(x2 – 2 (80) x + 6400) – 6400]
r(x) = - 0.2[(x – 80)2 – 6400]
r(x) = - 0.2(x – 80)2 + 1280
r(x) = - 0.2(x – 80)2 + 1280
h = 80, k = 1280
1) Domaine : [0, 160], Image : [0, 1280]
2) Zéros de la fonction:
r(x) = 0 , c'est à dire
- 0.2 x2 + 32x = 0. Ou
x(- 0.2x + 32) = 0
Ce qui donne: x = 0 , ou 0 = - 0.2x + 32, c'est à dire x = 160.
Zéros de la fonction: x1 = 0, et x2 = 160.
Si x = 0, d(x) = 32 et r(x) = 0 : Maximum de clients, pas de profit.
Si x = 160, d(x) = 0 et r(x) = 0 : Minimum de clients, pas de profit.
En ces deux points, il n'a pas de profit.
2) h = 80 est l'abscisse du sommet, et k = 1280
son ordonné. Donc le revenu max est 1280 $ pour
un prix de 80 $ la page.
3) Pour un revenu moyen de 550 $, on résous l'équation:
- 0.2 x2 + 32x = 550 , ou
- 0.2 x2 + 32x - 550 = 0
On résous l'équation et on trouve :
140.42 et 19.58
140.42 $ : Travailler moins et gagner plus , et
19.58 $: Travailler plus et demander moins.
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