Mathématiques :
Courbes planes paramétrées

Courbe paramétréeen polaire
La rosace à huit feuilles

La rosace à huit feuilles

On considère la courbe définie par son équation polaire :

r(θ) = sin (4θ)

Nous avons:

r(θ + π/2) = r(θ)

La fonction polaire r(θ) est (π/2)-périodique.

on peut donc tracer la courbe sur un intervalle de longueur π/2, puis de compléter en utilisant les 3 rotations de centre O et d'angle π/2, π et 3π/2.

On se limite à l'intervalle [-π/4, π/4].

On remarque ensuite que :

r(- θ) = - r(θ).

On peut donc se contenter de tracer la courbe sur l'intervalle [0,π/4, et on complètera le tracé par une symétrie d'axe (Oy).

Enfin, on :

r(π/4 - θ) = r(θ).

On va donc tracer la courbe sur l'intervalle [0, π/8] , et on va compléter le tracé par une symétrie d'axe polaire d'angle π/8.

Sur [0, π/8], la fonction r(θ) est croissante, valant 0 en 0 et 1 en π/8.

Le point correspondant à θ = 0 est un point stationnaire, la tangente à ce point est dirigée par le vecteur _o , c'est-à-dire que la tangente en ce point est l'axe des abscisses.

En π/8, r'(θ) = dr(θ)/dθ s'annule, et donc la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur, ie à _π/8.

Finalement, on obtient le tracé suivant :