Courbes paramétrées
En coordonnées
cartésiennes
Exemples
En coordonnées
polaires
Exemples
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Mathématiques :
Courbes planes paramétrées
Courbe paramétrée: exemple 7
Courbe polaire
Cardioïde
Cardioïde
On considère la courbe définie par ses
équations paramétrées:
x(t) = 2cos(t) - cos(2t)
y(t) = 2sin(t) - sin(2t)
• Domaine de définition:
Les fonctions x et y sont définies sur R.
• Période:
Les fonctions sin t et cost sont de périodes 2π et les fonctions
sin 2t et cos 2t de période π. Une
période commune est donc 2pi;. On étudie la courbe sur un intervalle
de longueur 2pi;.
• Réduction du domaine d’étude:
Selon la parité des fonctions,
on prend l’intervalle Io = [ - π, π].
On a:
x(-t) = x(t) et y(-t) = -y(t).
La courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox.
On l’étudie sur I = = [ 0, π], et on complètera par la
symétrie S1 par rapport à Ox.
• Dérivées:
En utilisant les formules:
sin p - sin q = 2 sin(p - q)/2 cos(p + q)/2
et
cos p - cos q = 2 sin(p + q)/2 sin(q - p)/2
on obtient:
x'(t) = 2(sin 2t - sin t) = 4 sin (t/2) cos(3t/2)
et
y'(t) = 2(cost - cos 2t) = 4 sin(t/2) sin(3t/2)
La fonction x' s’annule dans I en 0, π/3 et π et
la fonction y' en 0 et 2π/3.
• Point singulier:
La courbe admet un point singulier pour t = 0.
Comme on a
y'(t)/x'(t) = tan(3t/2),
cette expression tend vers 0 en 0. La courbe est tangente à l’axe
Ox et par symétrie, le point de
coordonnées (1, 0) est un point de rebroussement de première espèce
• Tableau de variation:
• Tracé de la courbe:
On trace l’arc de courbe obtenu lorsque t varie de
0 à π, puis on complète par la deux symétrie.
• Gnuplot code:
clear
set border
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set xrange [-4:4]
set yrange [-4:4]
set grid
set xzeroaxis lt 2 lw 2
set yzeroaxis lt 2 lw 2
set style line 1 lw 3
set title "Cardioide"
set xlabel "x "
set ylabel "y "
set parametric
set size square
set grid
plot [0:2*pi] 2*cos(t) - cos(2*t), 2*sin(t) - sin(2*t)
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