Mathématiques :
Courbes planes paramétrées

Courbe paramétrée: exemple 2

Courbe paramétrée: exemple 2

On veut étudier la courbe paramétrée par:

x(t) = 2t³ + 3 t²
y(t) = 3t⁴ + 4 t³

1. Domaine de définition

Les fonctions x et y sont définies sur .

2. Dérivées et points singuliers:

x'(t) = 6t(t + 1) et
y'(t) = 12t²(t + 1)

Les dérivées s’annulent en 0 et - 1. Les deux points singuliers sont donc, en ces deux valeurs, (0,0) et (1,-1).

3. Dérivées successives:

x"(t) = 6(2t + 1) et
y"(t) = 12t(3t + 2)

x⁽³⁾(t) = 12 ,
y⁽³⁾(t) = 24(3t + 1).

4. Notation vectorielle :

M(t) = M(to = 0) + t²(3,0) + 2t³(1,2) + t⁴(0, 4)

M(to = 0) = (0,0)

M(t) = t²(3,0) + 2t³(1,2) + t⁴(0, 4)

ou

(t) = t² + 2t³ + t⁴

avec = (3,0) , = (1,2) et = (0,4)

• En t = 0:

f⁽⁰⁾(0) = (0,0)
f⁽¹⁾(0) = (0,0)
f⁽²⁾(0) = (6,0)
f⁽³⁾(0) = (12,24)

p = min{k | f^(k)(0) ≠ (0,0)} = 2
q = min{k | f^(k)(0) n'est pas colinéaire à f⁽²⁾(0)} = 3

p = 2 et q = 3 → (0,0) un point de rebroussement de première espèce. et la courbe est tangente à Ox en O.

• En t = - 1:

f⁽⁰⁾(-1) = (1,-1)
f⁽¹⁾(-1) = (0,0)
f⁽²⁾(-1) = (- 6, 12)
f⁽³⁾(-1) = (12,- 48)

'(-1) = - 6 + 12
"(-1) = 12 - 48

p = min{k | f^(k)(0) ≠ (0,0)} = 2 q = min{k | f^(k)(0) n'est pas colinéaire à f⁽²⁾(0)} = 3

p = 2 et q = 3 → (1,-1) est aussi un point de rebroussement de première espèce. le coefficient directeur de la tangente valant -2.

5. Intersection avec Ox:

En dehors de 0, l’ordonnée y s’annule en t = - 4/3 et l’on obtient x(t) = 16/27.

• abscisse à l'origine: (16/27, 0)

6. Intersection avec Oy:

En dehors de 0, l’abscisse x s’annule en t = -3/2 et l’on obtient y(t) = 27/16.

• ordonnée à l'origine: (0, 27/16)


7. Branches paraboliques

Nous avons:

y(t)/x(t) = (3t⁴ + 4 t³) / (2t³ + 3 t²)
= (3t² + 4 t) / (2t + 3 ) ≈ (3/2)t.

Lorsque t tend vers - ∞, la fonction x tend vers -∞, la fonction y vers +∞ et le rapport y/x vers -∞. La courbe admet une branche parabolique dans la direction des y positifs.

Lorsque t tend vers +∞, les fonctions x, y et y/x tendent vers +∞. La courbe admet de nouveau une branche parabolique dans la direction des y positifs


8. Tableau de variation




9. Tracé de la courbe



Code Gnuplot correspondant:

reset 
set xtics 1
set ytics 1
set grid 
set parametric
set isosamples 10,10
set xrange [-5:7]
set yrange [-3:5] 
set ylabel "Y"
set xlabel "X" 
set title "courbe de x(t) = 2t3 + 3t2, 
y(t) = 3t4 + 4t3
plot 2*t*t*t + 3*t*t, 3*t*t*t*t + 4*t*t*t

9. Points doubles

On considère le système:

2t₁³ + 3 t₁² = 2t₂³ + 3 t₂²
3t₁⁴ + 4 t₁³ = 3t₂⁴ + 4 t₂³
avec t₁ différent de t₂.

Si l’on pose S = t₁ + t₂ et P = t₁t₂ ,
On obtient le système en fonction de S et P.

2(S² - P) + 3S = 0 3S(S² - 2P) + 4(S² - P) = 0 .

En remplaçant 2P par sa valeur dans la seconde équation, il vient:

S(S² + 3S + 2) = 0 .

• Lorsque S = 0, on en tire P = 0, ce qui donne t1 = t2 = 0. On retrouve un point singulier.

• Lorsque S = -2, on en tire P = 1, ce qui donne t1 = t2 = -1. On retrouve l’autre point singulier.

•Lorsque S = -1, on en tire P = -1/2. Le trinôme T(X) = X2 - SX + P = X2 + X -1/2 admet les racines X = 1/2 et y = 1/4

Le point double a donc pour coordonnées (1/2, 1/4).