Mathématiques :
Courbes planes paramétrées

Branches infinies

Branches infinies

On désigne par f : t M(t) une fonction définie sur un intervalle I de . On note aussi C la courbe de f et to l’une des bornes de I et n’est pas dans I . to est soit un réel, soit -∞, soit +∞.


Définition 1.

Il y a branche infinie en to dès que l’une au moins des deux fonctions |x(t)| ou |y(t)| tend vers l’infini quand t tend vers to.

. Il revient au même de dire que :

lim f(t) = ± ∞
t to

Pour chaque branche infinie, on cherche s’il existe une asymptote , c’est-à-dire une droite qui représente cette branche infinie.

La droite d’équation y = ax + b est asymptote à C et t = to si
y(t) - (ax(t) + b) 0
lorsque t to


On retient:

1. Si, quand t tend vers to, x(t) tend vers +∞ (ou -∞) et y(t) tend vers un réel h, la droite d’équation y = h est asymptote horizontale à C .

2. Si, quand t tend vers to, y(t) tend vers +∞ (ou -∞) et x(t) tend vers un réel v, la droite d’équation x = v est asymptote verticale à C .

3. Si, quand t tend vers to, x(t) et y(t) tendent vers +∞ (ou -∞), il faut présenter une fonction affine. Le cas le plus important est le suivant :


Définition 2.

La droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe x(t), y(t) si :

1. y(t)/x(t) tend vers un réel non nul a,
2. y(t) - ax(t) tend vers un réel b (nul ou pas).


Position de la courbe par rapport à une asymptote.

• Position par rapport à l’asymptote verticale. Il s’agit de déterminer le signe de x(t) - v.

• Position par rapport à l’asymptote horizontale. Il s’agit de déterminer le signe de y(t) - h.

• Position par rapport à l’asymptote oblique. Il s’agit de déterminer le signe de y(t) -(ax(t) + b).